Posons y comme étant le rayon du cercle intérieur.

L'aire de l'anneau est la différence entre l'aire du cercle de rayon r (cercle extérieur) et celle du cercle intérieur de rayon y.

Nous pouvons alors exprimer l'aire de l'anneau comme suit :

Cherchons la valeur de y :

Les deux triangles PCD et PEF sont rectangles respectivement en C et E. Ils ont aussi l'angle P en commun.

Par le critère AA nous pouvons dire que les deux triangles sont semblables.

Nous pouvons donc écrire :  

D'où : y = h.

Nous pouvons alors exprimer l'aire de l'anneau comme suit :

Nous remarquons que l'aire de l'anneau est égale à celle du disque :

Dans ce cas, l'intersection du plan horizontal avec la demi-sphère est un disque de rayon r et d'aire .

L'intersection du même plan horizontal avec le cylindre creusé est la base inférieure du cylindre qui est un disque de rayon r moins le sommet du cône qui est un point. Si nous considérons que l'aire d'un point est nulle, nous pouvons dire que l'aire de cette intersection est celle du disque du rayon r, qui est égale à .

Nous pouvons dire que quand h = 0, les deux intersections ont la même aire. 

Cas où h = r

Quand h = r, le plan X est tangent à la demi sphère, ce qui ramène leur intersection à un point (le point de tangence) d'une aire nulle : A₁ = 0.

L'intersection du même plan avec le cylindre creusé est un cercle de rayon r. Mais comme nous pouvons considérer que l'aire d'un cercle est nulle, nous pouvons en déduire que l'aire de cette dernière intersection est nulle : A₂ = 0.

Dans ce cas aussi, les deux intersections ont la même aire.

Conclusion :

Les sections des deux solides par les plans horizontaux ont donc toujours la même aire, et nous en déduisons que les deux solides ont le même volume.

Par conséquent le volume de la demi-sphère équivaut à la différence entre celui du cylindre et celui du cône, c'est-à-dire :

     Volume de la demi-sphère = Volume du cylindre - Volume du cône

 Le volume de la sphère de rayon r sera le double du volume de la demi-sphère, soit :

   
                                                                               

2- Aire de la sphère connaissant son volume :

Tout d'abord, considérons deux sphères. Soit S₁ de rayon r et S₂ de rayon R et de même centre O, tel que R  r . Posons h = R - r (la différence entre les deux rayons). Ici, il faut insister sur le fait que la surface de la sphère est son «enveloppe extérieure» qui est constituée de tous les points de l'espace situés à égale distance du centre O, à ne pas confondre avec l'aire de la sphère qui est la mesure de sa surface.

Animation

1- Nous avons associé à chaque sphère (objet en trois dimensions) une figure plane ayant la même aire (objet en deux dimensions).

La nature de la figure plane associée à chaque sphère n'a aucune influence sur le raisonnement qui suit, mais pour simplifier les représentations nous avons opté pour le disque sachant que c'est faisable (et que c'est une très bonne idée!).

2- Nous allons construire trois nouveaux solides :

    A- Un cylindre droit C₁ dont la base a la même aire A₁ que la sphère S₁ (disque 1) et dont la hauteur est égale à h (la différence entre les rayons des deux sphères : h = R - r).

    Soit V₁ son volume (il faut noter que le volume de ce cylindre n'est pas le même que celui de la sphère S₁).

    Cylindre C₁ :                                                  

    B- Un cylindre droit C₂ dont la base a la même aire A₂ que la sphère S₂ et dont la hauteur est aussi h.

    Soit V₂ son volume (il faut aussi noter que le volume de ce cylindre n'est pas le même que celui de la sphère S₂).

    Cylindre C₂ :                             
 

     C- Un tronc de cône T₁ dont :

                                                    - la petite base a une aire de A₁ (la même aire que la sphère S₁)

                                                    - la grande base a une aire de A₂ (la même aire que la sphère S₂)

                                                    - la hauteur est égale à h

    Soit V₃ son volume.

    Tronc de cône T₁ :                        

3- Maintenant que nous avons construit ces trois solides, on va mettre leurs volumes en relation.

Nous savons que :

            - le volume d'un cylindre dépend de la hauteur et de l'aire de la base.

            - le volume d'un tronc de cône dépend de la hauteur et de l'aire de ses deux bases.

Mais comme les trois solides ont la même hauteur, leurs volumes dépendent uniquement des aires de leurs bases.

Nous pouvons admettre que l'aire de S₁ est toujours inférieure ou égale à l'aire de  S₂, puisque nous avons posé

(la sphère S₁ est soit à l'intérieur de la sphère S₂ quand r < R,  soit confondue avec cette dernière lorsque r = R).

Nous pouvons établir les inégalités suivantes entre les trois volumes en question :

Autre représentation des solides imbriqués les uns dans les autres

Il faut noter qu'en réalité, le volume du tronc de cône est égal au volume du solide ayant pour parois les deux sphères S₁ et S₂, même si ce n'est pas indispensable pour notre démarche. 

Volume de T = V₃ = V₄= Volume de S₂ - Volume de S₁  (voir annexe)

Calculons maintenant les volumes V₁, V₂ et V₄, sachant que R = r + h :

En remplaçant chacun des volumes par son expression dans la double inégalité précédente nous allons obtenir :

En divisant chacun des termes par h, nous allons obtenir  

Maintenant, observons qu'est-ce qui va arriver si la valeur de h diminue, autrement dit si la distance entre les deux sphères diminue ?   

Animation (de face)

Animation alternative (de côté et du dessus)

Le volume de la sphère S₁, de même que son aire, vont se rapprocher de ceux de la sphère S₂.

Et que va-t-il arriver, à la limite? Quand h va devenir très petit (qu'il va tendre vers zéro)?

Les termes r h et vont devenir aussi très petit (ils vont tendre vers zéro) et à la limite, vont être égal à zéro quand h va égaler zéro.

Ainsi,  notre double inéquation deviendra :

C'est-à-dire que quand h tend vers zéro, les deux sphères se confondent et l'aire de la sphère S₁ égale l'aire de la sphère S₂ qui égale , ce qui est bien l'aire d'une sphère de rayon r.

Donc,.

Le volume d'une pyramide dépend de l'aire de sa base et de sa hauteur :  

Volume d'une pyramide =   

Soit a₁, a₂, a₃, ... , a_n : les aires des bases triangulaires des différentes pyramides qui constituent le solide. Et soit h leur hauteur.

Nous remarquons que plus le nombre de pyramides augmente, plus notre solide se rapproche de la sphère. En fait, lorsque leur nombre tend vers l'infini, la somme des aires des bases des pyramides tend vers l'aire de la sphère et la hauteur des pyramides tend vers le rayon de la sphère. À la limite, quand il va y avoir une infinité de pyramides, la hauteur des pyramides va être égale au rayon.

Ainsi, pour un solide constitué d'un très grand nombre de pyramides, nous pouvons considérer que :

D'où le volume de la sphère :

Et à la limite quand h = r :

À partir de la formule de l'aire de la sphère, nous avons retrouvé par approximation la formule de son volume.

Annexe - Volume du tronc de cône versus différence de volumes de deux sphères concentriques :

Nous savons que le volume d'une sphère est donné par :

Et celui d'un cône par :

Pour un cône ayant une hauteur égale au rayon de la sphère ainsi que le même volume que celle-ci,

i.e. et  :

 :  Le rayon de la base du cône est deux fois plus grand que celui de la sphère.

 En remplaçant chacune des deux sphères concentriques par un tel cône :

nous arrivons aisément à la conclusion que le solide ayant les deux sphères comme parois et le tronc de cône T ont le même volume.